Matematika

Euklides, matematikawan Yunani, abad ke-3 SM, kaya sing digambarna Raffaello Sanzio nang jerone detail iki sekang Sekolah Athena.

Matematika (sekangdari basa Yunani: μαθηματικά - mathēmatiká) kuwe nyinauni besaran, struktur, ruang, lan perubahan. Para matematikawan ngoleti rupa-rupa pola, ngrumusna konjektur anyar, lan mbangun kebenaran melalui metode deduksi sing kaku sekang aksioma-aksioma lan definisi-definisi sing bersesuaian.

Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika seperti bilangan lan titik hadir secara alami, atawa hanyalah buatan manusia. Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu sing menggambarkan simpulan-simpulan sing penting". nang pihak lain, Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; lan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."

Melalui penggunaan penalaran logika lan abstraksi, matematika berkembang sekang pencacahan, perhitungan, pengukuran, lan pengkajian sistematis terhadap bangun lan pergerakan benda-benda fisika. Matematika praktis telah menjadi kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Argumentasi kaku pertama muncul nang jero Matematika Yunani, terutama nang jero karya Euklides, Elemen. Matematika selalu berkembang, misalnya nang Cina pada tahun 300 SM, nang India pada tahun 100 M, lan nang Arab pada tahun 800 M, hingga zaman Renaisans, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru sing mengarah pada peningkatan sing cepat nang jero laju penemuan matematika sing berlanjut hingga kini.

Saiki, matematika digunakna nang seluruh donya sebagai alat penting nang berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, lan ilmu sosial kaya ekonomi, lan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika sing melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami lan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, lan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu sing sepenuhnya anyar, seperti statistika lan teori permainan. Para matematikawan uga bergulat nang jero matematika murni, atawa matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan nang jero pikiran, meskipun penerapan praktis sing menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.

Etimologi

Kata "matematika" berasal sekang bahasa Yunani Kuno μάθημα (máthēma), sing berarti pengkajian, pembelajaran, ilmu, sing ruang lingkupnya menyempit, lan arti teknisnya menjadi "pengkajian matematika", bahkan demikian uga pada zaman kuno. Kata sifatnya adalah μαθηματικός (mathēmatikós), berkaitan dengan pengkajian, atawa tekun belajar, sing lewih jauhnya berarti matematis. Secara khusus, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), nang jero bahasa Latin ars mathematica, berarti seni matematika.

Bentuk jamak sering dipakai nang jero bahasa Inggris, seperti uga nang jero bahasa Perancis les mathématiques (dan jarang digunakan sebagai turunan bentuk tunggal la mathématique), merujuk pada bentuk jamak basa Latin sing cenderung netral mathematica (Cicero), berdasarkan bentuk jamak basa Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), sing dipakai Aristotle, sing terjemahan kasarnya berarti "segala hal sing matematis". Tetapi, nang jero basa Inggris, kata benda mathematics mengambil bentuk tunggal bila dipakai sebagai kata kerja. nang jero ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagai math nang Amerika Utara lan maths nang tempat lain.

Sejarah

Sebuah quipu, sing dipakai oleh Inca untuk mencatatkan bilangan.

Evolusi matematika dapat dipandang sebagai sederetan abstraksi sing selalu bertambah banyak, atawa perkataan lainnya perluasan pokok masalah. Abstraksi mula-mula, sing uga berlaku pada banyak binatang, adalah tentang bilangan: pernyataan bahwa dua apel lan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah sing sama.

Selain mengetahui cara mencacah objek-objek fisika, manusia prasejarah uga mengenali cara mencacah besaran abstrak, seperti waktu — hari, musim, tahun. Aritmetika dasar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, lan pembagian) mengikuti secara alami.

Langkah selanjutnya memerlukan penulisan atawa sistem lain untuk mencatatkan bilangan, semisal tali atawa dawai bersimpul sing disebut quipu dipakai oleh bangsa Inca untuk menyimpan data numerik. Sistem bilangan ada banyak lan bermacam-macam, bilangan tertulis sing pertama diketahui ada nang jero naskah warisan Mesir Kuno nang Kerajaan Tengah Mesir, Lembaran Matematika Rhind.

Sistem bilangan Maya

Penggunaan terkuno matematika adalah nang jero perdagangan, pengukuran tanah, pelukisan, lan pola-pola penenunan lan pencatatan waktu lan tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke muka ketika orang Babilonia lan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmetika, aljabar, lan geometri untuk penghitungan pajak lan urusan keuangan lainnya, bangunan lan konstruksi, lan astronomi. Pengkajian matematika sing sistematis nang jero kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno antara tahun 600 lan 300 SM.

Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, lan terdapat interaksi bermanfaat antara matematika lan sains, menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah lan berlanjut hingga kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari 2006 terbitan Bulletin of the American Mathematical Society, "Banyaknya makalah lan buku sing dilibatkan nang jero basis data Mathematical Reviews sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) kini melebihi 1,9 juta, lan melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke jero basis data itu tiap tahun. Sebagian besar karya nang samudera iki berisi teorema matematika baru beserta bukti-buktinya."

Ilham, matematika murni lan terapan, lan estetika

Sir Isaac Newton (1643-1727), seorang penemu kalkulus infinitesimal.

Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah sing rumit sing melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atawa perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai nang jero perdagangan, pengukuran tanah, lan kemudian astronomi; kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah sing dikaji oleh para matematikawan, lan banyak masalah sing muncul nang jero matematika itu sendiri. Misalnya, seorang fisikawan Richard Feynman menemukan rumus integral lintasan mekanika kuantum menggunakan paduan nalar matematika lan wawasan fisika, lan teori dawai masa kini, teori ilmiah sing masih berkembang sing berupaya membersatukan empat gaya dasar alami, terus saja mengilhami matematika baru. Beberapa matematika hanya bersesuaian nang jero wilayah sing mengilhaminya, lan diterapkan untuk memecahkan masalah lanjutan nang wilayah itu. Tetapi seringkali matematika diilhami oleh bukti-bukti nang satu wilayah ternyata bermanfaat uga nang banyak wilayah lainnya, lan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika. Fakta sing menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering beralih menjadi memiliki terapan praktis adalah apa sing Eugene Wigner memanggilnya sebagai "Ketidakefektifan Matematika tak ternalar nang jero Ilmu Pengetahuan Alam".

Seperti nang sebagian besar wilayah pengkajian, ledakan pengetahuan nang zaman ilmiah telah mengarah pada pengkhususan nang jero matematika. Satu perbedaan utama adalah nang antara matematika murni lan matematika terapan: sebagian besar matematikawan memusatkan penelitian mereka hanya pada satu wilayah ini, lan kadang-kadang pilihan iki dibuat sedini perkuliahan program sarjana mereka. Beberapa wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan tradisi-tradisi sing bersesuaian nang luar matematika lan menjadi disiplin sing memiliki hak tersendiri, termasuk statistika, riset operasi, lan ilmu komputer.

Mereka sing berminat kepada matematika seringkali menjumpai suatu aspek estetika tertentu nang banyak matematika. Banyak matematikawan berbicara tentang keanggunan matematika, estetika sing tersirat, lan keindahan sekang dalamnya. Kesederhanaan lan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan nang jero kesederhanaan lan keanggunan bukti sing diberikan, semisal bukti Euclid yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya bilangan prima, lan nang jero metode numerik sing anggun bahwa perhitungan laju, yakni transformasi Fourier cepat. G. H. Hardy nang jero A Mathematician's Apology mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, nang dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni. Para matematikawan sering bekerja keras menemukan bukti teorema sing anggun secara khusus, pencarian Paul Erdős sering berkutat pada sejenis pencarian akar sekang "Alkitab" nang mana Tuhan telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya. Kepopularan matematika rekreasi adalah isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika.

Notasi, bahasa, lan kekakuan

Leonhard Euler. Mungkin seorang matematikawan sing terbanyak menghasilkan temuan sepanjang masa

Sebagian besar notasi matematika sing digunakan saat iki tidaklah ditemukan hingga abad ke-16. Pada abad ke-18, Euler bertanggung jawab atas banyak notasi sing digunakan saat ini. Notasi modern membuat matematika lewih mudah bagi para profesional, tetapi para pemula sering menemukannya sebagai sesuatu sing mengerikan. Terjadi pemadatan sing amat sangat: sedikit lambang berisi informasi sing kaya. Seperti notasi musik, notasi matematika modern memiliki tata kalimat sing kaku lan menyandikan informasi sing barangkali sukar bila dituliskan menurut cara lain.

Bahasa matematika dapat uga terkesan sukar bagi para pemula. Kata-kata seperti atau lan hanya memiliki arti sing lewih presisi daripada nang jero percakapan sehari-hari. Selain itu, kata-kata semisal terbuka lan lapangan memberikan arti khusus matematika. Jargon matematika termasuk istilah-istilah teknis semisal homomorfisme lan terintegralkan. Tetapi ada alasan untuk notasi khusus lan jargon teknis ini: matematika memerlukan presisi sing lewih sekang sekadar percakapan sehari-hari. Para matematikawan menyebut presisi basa lan logika iki sebagai "kaku" (rigor).

Lambang ketakhinggaan ∞ nang jero beberapa gaya sajian.

Kaku secara mendasar adalah tentang bukti matematika. Para matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan maksud penalaran sing sistematik. iki untuk mencegah "teorema" sing salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, nang mana banyak contoh pernah muncul nang jero sejarah subjek ini. Tingkat kekakuan diharapkan nang jero matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu: bangsa Yunani menginginkan dalil sing terperinci, namun pada saat itu metode sing digunakan Isaac Newton kuranglah kaku. Masalah sing melekat pada definisi-definisi sing digunakan Newton akan mengarah kepada munculnya analisis saksama lan bukti formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus beradu argumentasi tentang bukti berbantuan-komputer. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.

Aksioma menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran sing menjadi bukti dengan sendirinya", tetapi konsep iki memicu persoalan. Pada tingkatan formal, sebuah aksioma hanyalah seutas dawai lambang, sing hanya memiliki makna tersirat nang jero konteks semua rumus sing terturunkan sekang suatu sistem aksioma. Inilah tujuan program Hilbert untuk meletakkan semua matematika pada sebuah basis aksioma sing kokoh, tetapi menurut Teorema ketaklengkapan Gödel tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) memiliki rumus-rumus sing tidak dapat ditentukan; lan oleh karena itulah suatu aksiomatisasi terakhir nang jero matematika adalah mustahil. Meski demikian, matematika sering dibayangkan (di jero konteks formal) tidak lain kecuali teori himpunan nang beberapa aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan atawa bukti matematika dapat dikemas ke jero rumus-rumus teori himpunan.

Matematika sebagai ilmu pengetahuan

Carl Friedrich Gauss, menganggap dirinya sebagai "pangerannya para matematikawan", lan mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".

Carl Friedrich Gauss mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan". nang jero basa aslinya, Latin Regina Scientiarum, uga nang jero bahasa Jerman Königin der Wissenschaften, kata sing bersesuaian dengan ilmu pengetahuan berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli nang jero basa Inggris, lan tiada keraguan bahwa matematika nang jero konteks iki adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan sing mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan alam adalah nang masa terkemudian. Bila seseorang memandang ilmu pengetahuan hanya terbatas pada donya fisika, maka matematika, atawa sekurang-kurangnya matematika murni, bukanlah ilmu pengetahuan. Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; lan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."

Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah terpalsukan berdasarkan percobaan, lan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi Karl Popper. Tetapi, nang jero karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, lan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori matematika, seperti halnya fisika lan biologi, adalah hipotetis-deduktif: oleh karena itu matematika menjadi lewih dekat ke ilmu pengetahuan alam sing hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lewih daripada sebagai hal sing baru." Para bijak bestari lainnya, sebut saja Imre Lakatos, telah menerapkan satu versi pemalsuan kepada matematika itu sendiri.

Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya fisika teoretis) adalah matematika dengan aksioma-aksioma sing ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, J. M. Ziman, mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah pengetahuan umum lan dengan demikian matematika termasuk nang dalamnya. nang beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis sekang beberapa anggapan. Intuisi lan percobaan uga berperan penting nang jero perumusan konjektur-konjektur, baik itu nang matematika, maupun nang ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya). Matematika percobaan terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya nang jero matematika, kemudian komputasi lan simulasi memainkan peran sing semakin menguat, baik itu nang ilmu pengetahuan, maupun nang matematika, melemahkan objeksi sing mana matematika tidak menggunakan metode ilmiah. nang jero bukunya sing diterbitkan pada 2002 A New Kind of Science, Stephen Wolfram berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara empirik sebagai lapangan ilmiah nang jero haknya/kebenarannya sendiri.

Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal iki adalah beraneka macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sebagai ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya, lan sejarahnya nang jero tujuh seni liberal tradisional; sing lainnya merasa bahwa pengabaian pranala iki terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata sing buta terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika lan penerapannya nang jero ilmu pengetahuan lan rekayasa telah mengemudikan banyak pengembangan nang jero matematika. Satu jalan sing dimainkan oleh perbedaan sudut pandang iki adalah nang jero perbincangan filsafat apakah matematika diciptakan (seperti nang jero seni) atawa ditemukan (seperti nang jero ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi universitas bila dibagi ke jero bagian-bagian sing menyertakan departemen Ilmu Pengetahuan lan Matematika, iki menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir. iki adalah salah satu sekang banyak perkara sing diperhatikan nang jero filsafat matematika.

Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah sekang kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan sing adiluhung nang jero matematika adalah Fields Medal (medali lapangan), dimulakan pada 1936 lan kini diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghargaan iki sering dianggap setara dengan Hadiah Nobel ilmu pengetahuan. Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, lan penghargaan internasional utama lainnya, Hadiah Abel, diperkenalkan pada 2003. iki dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atawa penyelesaian masalah sing terkemuka nang jero lapangan sing mapan. Sebuah daftar terkenal berisikan 23 masalah terbuka, sing disebut "masalah Hilbert", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman David Hilbert. Daftar iki meraih persulangan sing besar nang antara para matematikawan, lan paling sedikit sembilan sekang masalah-masalah itu kini terpecahkan. Sebuah daftar baru berisi tujuh masalah penting, berjudul "Masalah Hadiah Milenium", diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah iki berhadiah US$ 1 juta, lan hanya satu (hipotesis Riemann) sing mengalami penggandaan nang jero masalah-masalah Hilbert.

Bidang-bidang matematika

Sebuah sempoa, alat hitung sederhana sing dipakai sejak zaman kuno.

Disiplin-disiplin utama nang jero matematika pertama muncul karena kebutuhan akan perhitungan nang jero perdagangan, untuk memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, lan untuk meramal peristiwa astronomi. Empat kebutuhan iki secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke jero pengkajian besaran, struktur, ruang, lan perubahan (yakni aritmetika, aljabar, geometri, lan analisis). Selain pokok bahasan itu, uga terdapat pembagian-pembagian sing dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian sekang jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke logika, ke teori himpunan (dasar), ke matematika empirik sekang aneka macam ilmu pengetahuan (matematika terapan), lan sing lewih baru adalah ke pengkajian kaku akan ketakpastian.

Besaran

Pengkajian besaran dimulakan dengan bilangan, pertama bilangan asli lan bilangan bulat ("semua bilangan") lan operasi aritmetika nang ruang bilangan itu, sing dipersifatkan nang jero aritmetika. Sifat-sifat sing lewih jero sekang bilangan bulat dikaji nang jero teori bilangan, sekang mana datangnya hasil-hasil popular seperti Teorema Terakhir Fermat. Teori bilangan uga memegang dua masalah tak terpecahkan: konjektur prima kembar lan konjektur Goldbach.

Karena sistem bilangan dikembangkan lewih jauh, bilangan bulat diakui sebagai himpunan bagian sekang bilangan rasional ("pecahan"). Sementara bilangan pecahan berada nang jero bilangan real, sing dipakai untuk menyajikan besaran-besaran kontinu. Bilangan real diperumum menjadi bilangan kompleks. Inilah langkah pertama sekang jenjang bilangan sing beranjak menyertakan kuarternion lan oktonion. Perhatian terhadap bilangan asli uga mengarah pada bilangan transfinit, sing memformalkan konsep pencacahan ketakhinggaan. Wilayah lain pengkajian iki adalah ukuran, sing mengarah pada bilangan kardinal lan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: bilangan aleph, sing memungkinkan perbandingan bermakna tentang ukuran himpunan-himpunan besar ketakhinggaan.

$1,2,3\,\!$	$-2,-1,0,1,2\,\!$	$-2,{\frac {2}{3}},1.21\,\!$	$-e,{\sqrt {2}},3,\pi \,\!$	$2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}\,\!$
Bilangan asli	Bilangan bulat	Bilangan rasional	Bilangan real	Bilangan kompleks

Ruang

Pengkajian ruang bermula dengan geometri – khususnya, geometri euclid. Trigonometri memadukan ruang lan bilangan, lan mencakupi Teorema pitagoras sing terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan iki untuk menyertakan geometri berdimensi lewih tinggi, geometri tak-euclid (yang berperan penting nang jero relativitas umum) lan topologi. Besaran lan ruang berperan penting nang jero geometri analitik, geometri diferensial, lan geometri aljabar. nang jero geometri diferensial terdapat konsep-konsep buntelan serat lan kalkulus lipatan. nang jero geometri aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri sebagai himpunan penyelesaian persamaan polinom, memadukan konsep-konsep besaran lan ruang, lan uga pengkajian grup topologi, sing memadukan struktur lan ruang. Grup lie biasa dipakai untuk mengkaji ruang, struktur, lan perubahan. Topologi nang jero banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar nang jero matematika abad ke-20, lan menyertakan konjektur poincaré sing telah lama ada lan teorema empat warna, sing hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, lan belum pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.

Geometri	Trigonometri	Geometri diferensial	Topologi	Geometri fraktal

Perubahan

Memahami lan menjelaskan perubahan adalah tema biasa nang jero ilmu pengetahuan alam, lan kalkulus telah berkembang sebagai alat sing penuh-daya untuk menyeledikinya. Fungsi-fungsi muncul nang sini, sebagai konsep penting untuk menjelaskan besaran sing berubah. Pengkajian kaku tentang bilangan real lan fungsi-fungsi berpeubah real dikenal sebagai analisis real, dengan analisis kompleks lapangan sing setara untuk bilangan kompleks. Hipotesis Riemann, salah satu masalah terbuka sing paling mendasar nang jero matematika, dilukiskan sekang analisis kompleks. Analisis fungsional memusatkan perhatian pada ruang fungsi (biasanya berdimensi tak-hingga). Satu sekang banyak terapan analisis fungsional adalah mekanika kuantum. Banyak masalah secara alami mengarah pada hubungan antara besaran lan laju perubahannya, lan iki dikaji sebagai persamaan diferensial. Banyak gejala nang alam dapat dijelaskan menggunakan sistem dinamika; teori kekacauan mempertepat jalan-jalan nang mana banyak sistem iki memamerkan perilaku deterministik sing masih saja belum terdugakan.

Kalkulus	Kalkulus vektor	Persamaan diferensial	Sistem dinamika	Teori chaos	Analisis kompleks

Struktur

Banyak objek matematika, semisal himpunan bilangan lan fungsi, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek iki diselidiki nang jero pengkajian grup, gelanggang, lapangan lan sistem abstrak lainnya, sing mereka sendiri adalah objek juga. iki adalah lapangan aljabar abstrak. Sebuah konsep penting nang sini yakni vektor, diperumum menjadi ruang vektor, lan dikaji nang jero aljabar linear. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur, lan ruang. Kalkulus vektor memperluas lapangan itu ke jero wilayah dasar keempat, yakni perubahan. Kalkulus tensor mengkaji kesetangkupan lan perilaku vektor sing dirotasi. Sejumlah masalah kuno tentang Kompas lan konstruksi garis lurus akhirnya terpecahkan oleh Teori galois.

Teori bilangan	Aljabar abstrak	Teori grup	Teori orde

Dasar lan filsafat

Untuk memeriksa dasar-dasar matematika, lapangan logika matematika lan teori himpunan dikembangkan, uga teori kategori sing masih dikembangkan. Kata majemuk "krisis dasar" mejelaskan pencarian dasar kaku untuk matematika sing mengambil tempat pada dasawarsa 1900-an sampai 1930-an. Beberapa ketaksetujuan tentang dasar-dasar matematika berlanjut hingga kini. Krisis dasar dipicu oleh sejumlah silang sengketa pada masa itu, termasuk kontroversi teori himpunan Cantor lan kontroversi Brouwer-Hilbert.

Logika matematika diperhatikan dengan meletakkan matematika pada sebuah kerangka kerja aksiomatis sing kaku, lan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi Teori ketaklengkapan kedua Gödel, mungkin hasil sing paling dirayakan nang donya logika, sing (secara informal) berakibat bahwa suatu sistem formal sing berisi aritmetika dasar, jika suara (maksudnya semua teorema sing dapat dibuktikan adalah benar), maka tak-lengkap (maksudnya terdapat teorema sejati sing tidak dapat dibuktikan di jero sistem itu). Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, sembarang kumpulan aksioma bilangan teoretis sing diberikan, sebuah pernyataan formal nang jero logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta teoretik, tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem formal sing merupakan aksiomatisasi sejati teori bilangan sepenuhnya. Logika modern dibagi ke jero teori rekursi, teori model, lan teori pembuktian, lan terpaut dekat dengan ilmu komputer teoretis.

$p\Rightarrow q\,$
Logika matematika	Teori himpunan	Teori kategori

Matematika diskret

Matematika diskret adalah nama lazim untuk lapangan matematika sing paling berguna nang jero ilmu komputer teoretis. iki menyertakan teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, lan teori informasi. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis komputer, termasuk model sing dikenal paling berdaya - Mesin turing. Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks waktu lan ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan perangkat keras komputer. Pamungkas, teori informasi memusatkan perhatian pada banyaknya data sing dapat disimpan pada media sing diberikan, lan oleh karenanya berkenaan dengan konsep-konsep semisal pemadatan lan entropi.

Sebagai lapangan sing relatif baru, matematika diskret memiliki sejumlah masalah terbuka sing mendasar. sing paling terkenal adalah masalah "P=NP?", salah satu Masalah Hadiah Milenium.

${\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}$
Kombinatorika	Teori komputasi	Kriptografi	Teori graf

Matematika terapan

Matematika terapan berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret nang jero ilmu pengetahuan, bisnis, lan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting nang jero matematika terapan adalah statistika, sing menggunakan teori peluang sebagai alat lan membolehkan penjelasan, analisis, lan peramalan gejala nang mana peluang berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey, lan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak statistikawan, tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai kelompok sekutu.) Analisis numerik menyelidiki metode komputasional untuk memecahkan masalah-masalah matematika secara efisien sing biasanya terlalu lebar bagi kapasitas numerik manusia; analisis numerik melibatkan pengkajian galat pemotongan atawa sumber-sumber galat lain nang jero komputasi.

• 
  Fisika matematika
• 
  Mekanika fluida
• 
  Analisis numerik
• 
  Optimisasi
• 
  Teori peluang
• 
  Statistika
• 
  Matematika keuangan
• 
  Teori permainan
• 
  Biologi matematika
• 
  Kimia matematika
• 
  Ekonomi matematika
• 
  Teori kontrol

Deleng uga

• Daftar simbol matematika
• Definisi matematika
• Dyscalculia
• Daftar topik matematika dasar
• Daftar topik matematika
• Mathematical anxiety
• Permainan matematis
• Model matematika
• Masalah matematika
• Struktur matematika
• Matematika lan seni
• Lomba matematika
• Pendidikan matematika
• Portal Matematika
• Pola
• Filsafat matematika
• Abacus
• Tulang Napier, Jangka sorong
• Penggaris lan Kompas
• Perhitungan biasa
• Kalkulator lan komputer
• Bahasa pemrograman
• Sistem komputer aljabar
• Notasi sederhana Internet
• Analisis statistik software
  • SPSS
  • SAS
  • R

Referensi

• Benson, Donald C., The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies, Oxford University Press, USA; New Ed edition (December 14, 2000). ISBN 0-19-513919-4.
• Boyer, Carl B., A History of Mathematics, Wiley; 2 edition (March 6, 1991). ISBN 0-471-54397-7. — A concise history of mathematics from the Concept of Number to contemporary Mathematics.
• Courant, R. and H. Robbins, What Is Mathematics? : An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press, USA; 2 edition (July 18, 1996). ISBN 0-19-510519-2.
• Davis, Philip J. and Hersh, Reuben, The Mathematical Experience. Mariner Books; Reprint edition (January 14, 1999). ISBN 0-395-92968-7. — A gentle introduction to the world of mathematics.
• Einstein, Albert (1923). Sidelights on Relativity (Geometry and Experience). P. Dutton., Co. 
• Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Sixth Edition, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0.
• Gullberg, Jan, Mathematics — From the Birth of Numbers. W. W. Norton & Company; 1st edition (October 1997). ISBN 0-393-04002-X. — An encyclopedic overview of mathematics presented in clear, simple language.
• Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. — A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM, and online [1].
• Jourdain, Philip E. B., The Nature of Mathematics, in The World of Mathematics, James R. Newman, editor, Dover, 2003, ISBN 0-486-43268-8.
• Kline, Morris, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, USA; Paperback edition (March 1, 1990). ISBN 0-19-506135-7.
• Cithakan:Cite paper
• Oxford English Dictionary, second edition, ed. John Simpson and Edmund Weiner, Clarendon Press, 1989, ISBN 0-19-861186-2.
• The Oxford Dictionary of English Etymology, 1983 reprint. ISBN 0-19-861112-9.
• Pappas, Theoni, The Joy Of Mathematics, Wide World Publishing; Revised edition (June 1989). ISBN 0-933174-65-9.
• Peirce, Benjamin. "Linear Associative Algebra". American Journal of Mathematics (Vol. 4, No. 1/4. (1881). http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9327%281881%294%3A1%2F4%3C97%3ALAA%3E2.0.CO%3B2-X.  JSTOR.
• Peterson, Ivars, Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics, Owl Books, 2001, ISBN 0-8050-7159-8.
• Paulos, John Allen (1996). A Mathematician Reads the Newspaper. Anchor. ISBN 0-385-48254-X. 
• Popper, Karl R. (1995). "On knowledge". In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years. Routledge. ISBN 0-415-13548-6. 
• Riehm, Carl (August 2002). "The Early History of the Fields Medal" (PDF). Notices of the AMS (AMS) 49 (7): 778–782. http://www.ams.org/notices/200207/comm-riehm.pdf. 
• Sevryuk, Mikhail B. (January 2006). "Book Reviews" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society 43 (1): 101–109. doi:10.1090/S0273-0979-05-01069-4. http://www.ams.org/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01069-4/S0273-0979-05-01069-4.pdf. Diakses pada 24 Juni 2006. 
• Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1856, repr. 1965). Gauss zum Gedächtniss. Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. ISBN 3-253-01702-8. http://www.amazon.de/Gauss-Ged%e4chtnis-Wolfgang-Sartorius-Waltershausen/dp/3253017028. 
• Cithakan:Cite paper

Pranala jaba

• Preceptorial Kumpulan materi lan soal matematika SD, SMP, SMA
• Sejarah Matematika
• Buku-buku matematika bebas Kumpulan buku matematika bebas.
• Penerapan Aljabar SMA
• Encyclopaedia of Mathematics ensiklopedia online sekang Springer, Karya referensi pascasarjana dengan lewih sekang 8.000 judul, mencerahkan hampir 50.000 gagasan nang jero matematika.
• Situs HyperMath nang Georgia State University
• Perpustakaan FreeScience Bagian matematika sekang perpustakaan FreeScience
• Rusin, Dave: The Mathematical Atlas. Panduan wisata melalui aneka macam matematika modern. (Juga dapat ditemukan nang sini.)
• Polyanin, Andrei: EqWorld: The World of Mathematical Equations. Sebuah sumber online sing memusatkan perhatian pada fisika matematika aljabar, diferensial biasa, diferensial parsial, integral, lan persamaan-persamaan matematika lainnya.
• Cain, George: Buku teks Matematika Online tersedia online secara bebas.
• Matematika lan Logika: Searah matematika formal, gagasan-gagasan logis, linguistik, lan metodologis. nang jero Kamus Sejarah Gagasan.
• Riwayat Hidup Matematikawan. Arsip Sejarah Matematika MacTutor sejarah ekstensif lan kutipan sekang matematikawan termasyhur.
• Metamath. Sebuah situs lan sebuah bahasa, sing memformalkan matematika sekang dasar-dasarnya.
• Nrich, sebuah situs peraih hadiah bagi para siswa berusia sejak lima tahun sekang Universitas Cambridge
• Taman Masalah Terbuka, sebuah wiki sekang masalah matematika terbuka
• Planet Math. Sebuah ensiklopedia matematika online sing masih dibangun, memusatkan perhatian pada matematika modern. Menggunakan GFDL, memungkinkan pertukaran artikel dengan Wikipedia. Menggunakan pemrograman TeX.
• Beberapa aplet matematika, nang MIT
• Weisstein, Eric et al.: MathWorld: World of Mathematics. Sebuah ensiklopedia online matematika.
• Patrick Jones' Tutorial Video tentang Matematika